Un petit test pour nous mesurer à un grec antique

Sans googler, sans tricher, le défi est le suivant : votre démonstration de l'irrationalité de racine(2).

Salut

La seule chose que je trouve dommage (irrationnel ????) en math, c'est que l'on aura jamais un chiffre qui mit au carré donnera exactement deux (ni trois, ni cinq, ni six etc.) et le deux est le seul nombre pair qui est un nombre premier.
Voilà tout mon savoir en math vient d'être déballé, c'est pourquoi je suis devenus mécano.


Le Vieux qui même en googlelisant ne comprendra pas la réponse (surtout qu'il n'a pas compris la question ).

Oups, en effet,

Je reformule : il s'agit de démontrer qu'il n'existe pas deux nombres entiers p et q tels que (p divisé par q soit égal à racine carrée de 2).

Des divisions, je sais manipuler dans les équations, mais pas des racines carrées désolé.
Pour ca j'ai besoin de la calculette ;-)

Stephane

Un petit indice : une démonstration simple et lumineuse de l'irrationalité de racine de 2 procède par l'absurde :

Ca commence comme ceci : supposons qu'il existe deux entiers premiers entre eux (c'est à dire qui n'ont pas de diviseur commun) p et q, tels que p/q soit égal à la racine carrée de 2.
Alors, le carré de p/q est égal à 2.

to be continued...

Moi ce que je trouve absurde là-dedans, c'est qu'on puisse trouver du plaisir à ca!

Stephane

Steph a écrit:

Moi ce que je trouve absurde là-dedans, c'est qu'on puisse trouver du plaisir à ca!

Stephane

Ah bon ?

Pourtant les maths, c'est une vraie joie de l'esprit !
Mais chacun ses goûts...

Décidément, je n'ai pas beaucoup de succès avec ma question

Pourtant, c'est une démonstration limpide, qui date de Pythagore, qui ne bénéficiait pas de tout le corpus actuel...

Supposons donc qu'il existe deux entiers p et q premiers entre eux (c'est à dire n'ayant pas de diviseur commun, genre 7/3 et pas 14/6), tels que p/q = racine carrée de 2.

Alors (p/q)^2 = 2

Donc p^2 = 2q^2

Donc p^2 est pair, d'où p est pair.

p étant pair, il existe un entier n tel que p = 2n

Donc si p^2 = 2q^2, alors (2n)^2 = 2q^2, donc 4n^2 = 2q^2

Donc 2n^2 = q^2, ou q^2 = 2n^2

Donc q est pair car multiple de 2

Mais p était pair aussi. Donc p et q étant pairs, ils partagent un diviseur commun qui est 2.

cqfd !





PS : je suis passé un peu vite sur "Donc p^2 est pair, d'où p est pair.
"

A nouveau, par l'absurde :

Si p^2 est pair, supposons que p est impair.

Alors, il existe un entier n tel que p = 2n + 1

Alors p^2 = (2n + 1) ^2 = 4n^2 + 4n + 1

p^2 étant pair, il existe m tel que
4n^2 + 4n + 1 = 2m

alors 2n^2 + 2n + 1/2 = m, et m n'est pas entier.

cqfd

Huyustus a écrit:

Alors p^2 = (2n + 1) ^2 = 4n^2 + 4n + 1

Et j'en profite pour oser un parallèle avec ceux qui, malgré toutes les preuves manifestes, croient en la théorie du complot au sujet des attentats du 11/9.

Leur raisonnement est le même que celui qui consisterait à dire que l'équation citée ci-dessus est fausse ((2n + 1) ^2 = 4n^2 + 4n + 1) : c'est un tout petit peu compliqué, donc dire au public que c'est faux, ça peut passer (plus c'est gros, plus ça passe)

Le Vieux a écrit:

Salut

La seule chose que je trouve dommage (irrationnel ????) en math, c'est que l'on aura jamais un chiffre qui mit au carré donnera exactement deux (ni trois, ni cinq, ni six etc.) et le deux est le seul nombre pair qui est un nombre premier.
Voilà tout mon savoir en math vient d'être déballé, c'est pourquoi je suis devenus mécano.


Le Vieux qui même en googlelisant ne comprendra pas la réponse (surtout qu'il n'a pas compris la question ).

Mais si !

9 est le carré de 3 par exemple
4 est le carré de 2

et 100 est le carré de 10, ce qui n'est pas rien, graphiquement parlant ! (en base 10 s'entend)

Et pour se faire une équerre on prend 6 et 8 pour les côtés ( ou des multiples) et 10 pour la diagonale ( ou les mêmes multiples) .

Or l'équerre des mécaniciens est renommée...

Question posée, en Belgique, lors d'un examen de carreleur.

Eh bien cette séquence 3, 4, 5 -> 9, 16, 25, je la trouve presque aussi fascinante que cette démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de 2...